Bueno, pues tras un tiempo en el que dejé este problema para centrarme en otros he vuelto a intentar arreglarlo y creo que encontré la solución.
Lo primero gracias a Bully por tratar de ayudarme.
La solución parece haber sido poner copelas nuevas. Las que tenía montadas estaban muy mal, el apoyo inferior completamente gastado y el interior gastado y elevado, lo que hacía que la copela fuera algo más alta. Ahora no sólo no toca la estabilizadora, el paso por los badenes es mucho más cómodo.