¡Problema solucionado!
Llevé el coche al servicio técnico oficial Audi dónde me confirmaron que el código del climatizador que instalé no era compatible con mi coche.
Mi antigua unidad de climatización tenía la referencia "8E0 820 043", mi nueva unidad tiene la referencia "8E0 820 043 AC" y la referencia compatible con mi coche según Audi es "8E0 820 043 AC".
Lo que he hecho finalmente es quitarle el frontal, con el que salen los botones en la misma pieza, al climatizador nuevo y ponérselo a mi antiguo y "pelado" climatizador (sale quitando 4 tornillos torx) y ya tengo climatizador "nuevo".
Saludos.