13.8 es correcto pero no descartes al alternador. Puede que compres una batería nueva (que la tendrás que comprar) y la "quemes" si el alternador sobrecarga el sistema.
Deberias, para descartar completamente al alternador, medir la tensión con el coche andando, luces puestas, ventilador de la calefacción y subiendo el motor de vueltas. Al ralentí puede regular bien y a altas rev. no.
Suerte.